Комунальний заклад освіти "Середня загальноосвітня школа № 98" ДМР


запам'ятати

 


Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського "ХАІ" Міністерство oсвіти і науки, молоді та спорту України
Педагогічна преса Національна дитяча гаряча лінія

Задачі на зважування

 

Теорія

Щоб навчитися правильно міркувати, потрібно вирішувати завдання на кмітливість. Одним з класів завдань такого вигляду є  завдання на зважування та переливання. У математичній науці завдання на зважування та переливання допомагали людям використовувати науку в повсякденному  житті, розвивати логіку і мислення.

В результаті опрацювання запропонованого матеріалу учні познайомляться з новими для них задачами на зважування, навчаться їх розв’язувати.

Задачі на зважування різко відрізняються від звичайних шкільних задач, які ви звикли розв’язувати на уроці. Щоб розв’язати таку задачу, необхідно уявити відповідну ситуацію і проаналізувати всі можливі варіанти. Розв’язати таку задачу – означає описати певні дії і зроблені з них висновки. 
В задачах на зважування часто йде мова про терези без гир. Ними можна порівнювати предмети (важчий, легший, однакові) але не можна виміряти точну їх вагу.

Умови наступних запропонованих задач легко змінювати (монети на камінці, пакети , каміння і т.д), отримуючі нові, що допомагає вчителю закріпити у учнів розуміння ідеї розв’язання.

Задачі
Задача 1 .Маємоnоднакових монет, з яких одна фальшива (легша за вагою).Як за допомогою шалькових терезів без гир знайти фальшиву монету за найменшу кількість зважувань,якщо

a) n=3; б) n=9; в)n=27; г) n- довільне число.

Розв’язання: г) При кожному зважуванні монети ділять на 3 групи, з яких 2 кладуть на терези і визначають в якій з груп знаходиться фальшива монета. Процес повторюють в залежності від кількості монет.

 

Задача 2 . Серед чотирьох монет є одна фальшива, як знайти її за 2 зважування на шалькових терезах без гир? Чи можна при цьому з’ясувати легша вона чи важча?

Розв’язання: Позначимо монети a, b, c, d. Першим зважуванням порівнюємо вагу a і b. Нехай

ab (наприклад, a<b ). Тоді c і d – справжні, а фальшива a чи b . Для визначення порівнюємо

a і с. Якщо a = с , то b фальшива і важча, оскільки a<b. Якщо a≠ с , то фальшива a , при чому одразу з’ясовуємо , важча вона чи легша. Аналогічно поступаємо , якщо a= b.


Задача 3. Є 100 купок монет по 100 монет у кожній. Одна з купок складається з фальшивих монет, кожна з яких на 1 г легша  від справжньої. Маса справжньої монети 10 г. Яку найменшу кількість зважувань на терезах з електронним табло треба зробити, щоб знайти купку фальшивих монет?

Розв’язання

Пронумеруємо кожну купку монет цифрами від 1 до 100, тобто перша купка 1, друга 2, третя – 3 і т.д. остання купка – 100. Із першої купки візьмемо 1 монету, із другої – 2, із третьої – 3 і т.д., із останньої – 100 монет. Визначимо якою повинна бути маса монет, якщо всі монети справжні.

10 г ∙ (1+2+3+…+100)=10∙101∙50=50500 г. Зважимо вибрані монети. На скільки грамів буде меншою вага від визначеної нами, купка під цим номером і буде із фальшивими монетами.

 

Задача 4.З дев’яти однакових на вигляд монет виділити одну фальшиву (важчу за справжні) за два зважування.
Розв’язання.
Розділимо 9 монет на три групи по 3 монети. На терези покладемо перші дві групи. Якщо шальки зрівноважаться, то фальшива монета в третій групі. Якщо шальки не зрівноважаться, то фальшива монета в групі, яка переважила іншу групу. Отже, ми виділили 3 монети, серед яких одна фальшива.


Задача 5. Є 5 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Маса справжньої монети 5 г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна визначити фальшиву монету, маючи одну гирю масою 5 г?
Розв’язання. 
Позначимо монети №1, №2, №3, №4 і №5. Покладемо монети №1 і №2 на одну шальку, а монету №3 з гиркою – на другу. 
  Якщо шальки
врівноважені, то фальшива знаходиться серед відкладених (№4 або №5).  За друге зважування на одну шальку покладемо монету №4, а на другу – гирю. Якщо терези зрівноважені, то фальшивою є монета №5; якщо не зрівноважені, то фальшивою є монета №4. 
 Якщо при першому зважуванні шальки не зрівноважені , то можливі два випадки: 
1) переважує шалька з монетами №1 і №2 – тоді фальшива монета або №1 чи №2 (тоді вона важча від справжньої), або №3 (тоді вона легша від справжньої). Відкладені монети №4 і №5 – справжні. Для другого зважування на одну шальку покладемо монети №1 і №3, а на іншу - №4 і №5. Якщо переважать №1 і №3, то фальшива - №1, якщо переважать  №4 і №5, то фальшива - №3, якщо вони
врівноважаться, то фальшива - №2;
 2) переважує шалька з монетою №3 і гирею – тоді фальшива монета або №1 чи №2 (тоді вона легша), або №3 ( тоді вона важча); при другому зважуванні фальшивою буде монета  №3, якщо переважує шалька з монетами №1 і №3; фальшивою буде монета №1, якщо переважують №4 і №5; фальшивою буде – №2, якщо  №1 і №3 зрівноважені монетами №4 і №5.


Задача 6. На одній шальці терезів лежить цеглина, а надругій – половина такої самої цеглини і ще дві гирі: 1 кг і 500 г. Терезиврівноважені. Знайди масу цеглини.
 Розв’язання. Якщо з обох шальок терезів зняти по половині цеглини, вони залишаться
врівноваженими. Тоді гирі 1 кг і 500 г врівноважують другу половину цеглини. Отже, вся цеглина важить в 2 рази більше, тобто 3 кг.

Задача
7. Серед трьох монет одна фальшива (легша від двох інших, однакових за масою). За допомогою одного зважування на терезах без гир виділити фальшиву монету.
Розв’язання. Одну монету покладемо на одну шальку терезів, а другу – на іншу шальку. Якщо вони зрівноважаться, то третя монета – фальшива. Якщо не врівноважаться, то фальшива монета лежить на тій шальці, яка піднялася  догори. 

Задача 8

Картинки по запросу картинки буратино 

 


У Буратіно є 27 золотих монет.

Але відомо, що Кіт Базиліо замінив

одну монету на фальшиву, і вона по

 вазі важче справжніх. Як за три

 

зважування на чашкових вагах без гир Буратіно знайти фальшиву монету?

Розвязання

 Розділимо монети на 3 купки по 9 монет. Покладемо на чаші вагів першу і другу купки; в результаті цього зважування ми точно дізнаємось, в якій з купок знаходиться фальшивка (якщо ваги покажуть рівність, то вона - в третій купці). Тепер, аналогічно, розділимо вибрану купку на три частини по три монети, покладемо на ваги дві з цих частин і визначимо, в якій з частин знаходиться фальшива монета. Нарешті, залишається з трьох монет визначити важчу: кладемо на чаші вагів по 1 монеті - фальшивою є важча; якщо ж на вагах рівність, то фальшивою є третя монета з частини.

 

Задача 9.

http://go3.imgsmail.ru/imgpreview?key=http%3A//images02.olx.ru/ui/5/81/11/1269340230%5F70058011%5F1--18-21---1269340230.jpg&mb=imgdb_preview_502Серед 101 однакових за виглядом монет одна фальшива, така, що відрізняється за вагою. Як за допомогою чашкових вагів без гир за два зважування визначити, легшою або важчою є фальшива монета? Знаходити її  не потрібно.

Розвязання

Зважуємо 50 і 50 монет, можуть бути  два випадки.

1 випадок. Монети мають однакову вагу. Беремо монету, що залишилася, і ставимо її в ліву купку замість однієї з тих, що є там:

а) ліва купка важча => фальшива монета важча;

б) ліва купка легша => фальшива монета легша. 

2 випадок. Монети мають різну вагу.Беремо важчу купку і розбиваємо її на дві купки по 25 монет:

а) вага купок однакова => фальшива монета легша;

б) вага купок неоднакова => фальшива монета важча.

Задача 10.

Є 8 монет. Одна з них фальшива і легша за справжню монету. Визначить за 3 зважування яка з монет фальшива.

Розвязання

Ділимо монети на дві рівні купки – по 4 монети в кожній. Зважуємо. Ту купку, яка легша, знову ділимо на дві однакові купки – тепер по дві монети в кожній. Зважуємо. Визначаємо, яка з них легша. Кладемо на чаші вагів по 1 монеті з цієїкупки. Фальшива та, яка легша.

Задача 11.

Ліса Аліса і Кіт Базиліо – фальшивомонетники. Базиліо робить монети важче справжніх, а Аліса – легше. В Буратіно є 15 однакових на вигляд

http://go3.imgsmail.ru/imgpreview?key=http%3A//900igr.net/datai/literatura/Viktorina-po-skazkam/0005-019-Kogo-zametil-Buratino-v-tjomnom-chulane.jpg&mb=imgdb_preview_108 монет, але якась одна – фальшива. Як двома зважуваннями на чашкових вагах без гир Буратіно може визначити, хто зробив фальшиву монету – Кіт Базиліо або Ліса Аліса?

Розв’язання

Буратіно може розділити свої монети на три купки по 7, 4, 4, або по 5, 5, 5, або по 3, 6, 6, або по 1, 7, 7 монет. При першому зважуванні він покладе на ваги дві купки монет однакової величини. Якщо при цьому ваги виявилися в рівновазі, значить, всі монети на вагах справжні, а бракована монета в купці, що залишилася. Тоді при другому зважуванні на одну чашу вагів Буратіно покладе купку з бракованоюмонетою, а на другу – стільки справжніх монет, скільки всього монет він поклав на першу чашку, і тоді він відразу визначить, легше фальшива монета, чим справжня, чи важча. Якщо ж при першому зважуванні ваги виявилися не в рівновазі, значить, всі монети в купці, що залишилася, справжні. Тоді Буратіно прибере з вагів легку купку, а монети з важкої купки розділить на дві рівні частини і покладе на ваги (якщо в купці було 5 або 7 монет, заздалегідь додасть до них одну справжню монету). Якщо придругому зважуванні ваги виявилися в рівновазі, значить, фальшива монета легша справжніх, а якщо немає, то важча.

Задача 12.

13zЄ 10 монет. Одна з них фальшива і легша за справжню монету. Як, за допомогою чашкових вагів без гир, визначити яка з монет фальшива?

Розв’язання

Розділимо 10 монет на 2 рівних купки – по 5 монет. Покладемо на чаші вагів. Визначимо, в якій з цих купок знаходиться фальшива монета. Тепер цю купку ділимо на 3 купки – в двох з них по дві монети, в третій одна монета. Зважуємо купки, в яких по дві монети. Якщо ваги покажуть рівність, то фальшивка в третій купці. Якщо покажуть нерівність, то фальшива монета в купці, яка легше. Тепер кладемо на чаші вагів по 1 монеті з цієї купки – фальшивою є легша.

мудрый филин 

 

 

 


Задачідля самостійного

розв’язування:

1. Маємо чотири камінці різної маси. За яку найменшу кількість зважувань на терезах без гир можна знайти найважчий і найлегший камінь?

2. Маємо чотири пакети різної маси і правильні шалькових терези без гир. Як за п’ять зважувань розкласти пакети в порядку зростання їх маси?

3. З 21 монети 10 справжніх і 11 фальшивих, причому кожна фальшива на

 1 гр  легша за справжню. Взяли одну з монет, як за одне зважування на терезах зі стрілкою визначити чи фальшива монета?

4. Маємо 6 однакових за виглядом монет,  чотири з них справжні, по 4 г кожна, а дві - фальшиві: вагою 5 г і 3 г. За чотири зважування на шалькових терезах без гир знайдіть обидві фальшиві монети.

5. Серед 18 монет одна фальшива, причому фальшива відрізняється за масою від справжніх. За яку найменшу кількість зважувань на правильних шалькових терезах без гир можна визначити легша чи важча від справжніх фальшива монета?

6. Як зважити груз на шалькових терезах з гирями,якщо гирі правильні, а терези не правильні.
7. а) Маємо 4 камені різної маси. За яку найменшу кількість зважувань можна знайти найлегший і найважчий камінь?

б) Розв’язати задачу для 6-ти каменів.

8.   У пакеті 9 кг крупів, За допомогою терезів з гирями 50 г і 200 г треба розкласти ці крупи у два пакети: в один – 2 кг, в другий – 5 кг. Спробуйте це зробити за три зважування. Знайдіть два способи розв’язання цієї задачі.
9.   У пакеті 3 кг 600 г крупів. Є шалькові терези і гиря 200 г. Як поділити крупи на три пакети: 800 г, 800 г і 2 кг – за допомогою трьох зважувань?
1
0.  З дев’яти однакових на вигляд монет виділити одну фальшиву (важчу за справжні) за два зважування.
1
1.  Є 5 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Маса справжньої монети 5 г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна визначити фальшиву монету, маючи одну гирю масою5 г?
20.  Є 9 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Як за допомогою трьох зважувань на терезах без гир виділити фальшиву монету? 

 

 

Література

1. Сурядна О. А. Задачі на переливання та зважування. — Донецьк : ДонНУ, 2001.

2. Геращенко В. О. Логіка. Збірник задач. — Х. : Торсінг плюс, 2011.

3. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Математика. Підручник для 6 класу. — К. : Ґенеза, 2006.

4. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б, .Якір М. С. Математика. Підручник для 6 класу. — Х. : Гімназія, 2006.

5. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Алгебра. Підручник для 7 класу. — К. : Зодіак – ЕКО, 2007.

 

 

Подобається